Будущий актёр появился на свет в Саратове в семье железнодорожника. В раннем детстве мальчик переболел скарлатиной. Тяжёлый недуг дал осложнение на сердце — Володя не мог посещать уроки физкультуры, зато всё свободное время уделял занятиям в театральном кружке и походам по музеям. После школы Конкин поступил в Саратовское театральное училище, а затем был принят в труппу Харьковского ТЮЗа, где и началась его актёрская карьера.
Владимир Конкин уже успел сменить несколько театров, когда к нему пришёл настоящий успех. За роль Павла Корчагина в телефильме «Как закалялась сталь» молодого актёра наградили премией Ленинского комсомола. Романтичный и интеллигентный Павка в исполнении Конкина отличался от прежних экранных Корчагиных и быстро завоевал любовь зрителей. После этого за начинающим актёром надолго закрепилось амплуа лиричного героя, прошедшего войну, хотя сам Конкин из-за болезни даже не служил в армии.
Очередной взлёт популярности в карьере Владимира Конкина произошёл после роли Володи Шарапова в детективе «Место встречи изменить нельзя». Изначально режиссёр Станислав Говорухин планировал утвердить в картину Николая Губенко, но его кандидатуру забраковал Владимир Высоцкий. А вот против Конкина резко выступили авторы сценария братья Вайнеры: по их убеждению, актёр был совершенно не похож на бывшего разведчика, 42 раза ходившего за линию фронта и зачастую возвращавшегося «с языком на плече». Однако Говорухин настоял на своём, и в картине сложился блестящий дуэт Жеглова и Шарапова. Хотя в реальной жизни Высоцкий и Конкин друзьями так и не стали.
В карьере Владимира Конкина было ещё немало киноработ, но звёздной роли, подобной Шарапову, больше не случилось. Он сыграл доктора Робинсона в «Приключениях Тома Сойера и Гекльберри Финна», заседателя Шабашкина в «Благородном разбойнике Владимире Дубровском», бывшего мужа главной героини в «Принцессе на бобах». Последний фильм с участием актёра увидел свет в 2007 году — Конкин исполнил роль секретаря Союза Писателей в драматическом сериале Николая Досталя «Завещание Ленина».
С тех пор актёр пропал с экранов. Причиной стали давние проблемы со здоровьем и череда трагических событий, буквально обрушившихся на артиста. В 2009 году Конкин перенёс тяжёлую операцию на сердце, после которой долго восстанавливался. Рядом всегда была любимая жена Алла Львовна, с которой актёр прожил почти 40 лет. Конкин часто говорил, что сменил в своей жизни 11 театров, а вот его Аллочка всегда была рядом. Болезнь мужа стала для неё тяжёлым ударом, переживания подорвали здоровье. Едва Владимира Конкина выписали из больницы, его ждала другая страшная новость: его супруга сгорает от рака. Последние месяцы Алла Конкина провела в хосписе, где ежедневно дежурил её муж. Потерю любимой актёр переживал мучительно — её памяти он посвятил спектакль «Муж, жена и сыщик», премьера которого состоялась в годовщину её смерти.
У Владимира и Аллы осталось трое детей — близнецы Ярослав и Святослав и дочь София. Ещё в 2008 году между отцом и сыном Ярославом произошёл странный инцидент, который едва не закончился трагедией. Однажды сын постучался в квартиру отца на Ленинградском проспекте, но тот не открыл дверь. Тогда Ярослав попытался докричаться до родителя с улицы, а затем, не получив ответа, начал карабкаться на третий этаж по балконам. Наконец знаменитый актёр выглянул в окно… и выстрелил в сына из травматического пистолета. Пуля попала парню в живот, но от медицинской помощи он отказался. Обстоятельства и причины этого загадочного происшествия так и остались тайной — отец и сын лишь заявили, что в момент случившегося оба были нетрезвы.
А в прошлом году трагедия случилась с дочерью Владимира Конкина Софией. Девушка пришла в фитнес-клуб поплавать в бассейне, но во время заплыва внезапно пошла ко дну. Подоспевшие на помощь врачи сумели запустить сердце и отвезли пострадавшую в больницу, но спасти 32-летнюю Софию не удалось. Родные видели в таинственной гибели молодой девушки криминальный след — София была успешным юристом и работала в крупной компании.
После всех потерь отдушиной для Владимира Конкина стали его внуки и внучки. У актёра их пять — 23-летний Глеб, 20-летняя Дарья, 16-летняя Варвара, 14-летняя Теодора и 11-летняя Алиса.
